EBOB EKOK Hesaplama

EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki ya da daha fazla sayıyı tam bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Öklid algoritması ile hızla bulunur: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b). Örneğin gcd(48, 18): 48 mod 18 = 12 → gcd(18, 12): 18 mod 12 = 6 → gcd(12, 6) = 6. EBOB(48, 18) = 6.

EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki sayıya da tam bölünen en küçük pozitif tam sayıdır. EBOB üzerinden hesaplanır: EKOK(a, b) = |a × b| / EBOB(a, b). Örneğin EKOK(4, 6): EBOB(4,6)=2, EKOK = 4×6/2 = 12. Asal çarpanlarla: 4=2², 6=2×3 → EKOK=2²×3=12.

EBOB; kesirleri sadeleştirmek (3/6 → 1/2), iki büyüklüğü en büyük eşit parçalara bölmek, dikdörtgen karolarla kaplanacak en büyük kareyi bulmak için kullanılır. EKOK; farklı paydaları eşitlemek (1/4+1/6=3/12+2/12), periyodik olayların kesişme süresini bulmak için kullanılır.

Evet, iki pozitif tam sayı için EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b eşitliği her zaman geçerlidir. Örneğin a=12, b=18: EBOB=6, EKOK=36 → 6×36=216=12×18 ✓. Bu ilişki ikiden fazla sayı için genellikle geçerli değildir.

Öklid algoritması, büyük sayının küçük sayıya bölümünden kalanı kullanır. Kalan 0 olduğunda son bölen EBOB'dur. gcd(252, 105): 252 = 2×105+42 → gcd(105,42): 105=2×42+21 → gcd(42,21): 42=2×21+0 → EBOB=21. Yaklaşık 2300 yıllık bu algoritma bugün de kullanılır.

12 = 2² × 3, 8 = 2³. EBOB(12,8) = 2² = 4 (ortak çarpanların en küçük kuvvetleri). EKOK(12,8) = 2³ × 3 = 24 (tüm çarpanların en büyük kuvvetleri). Kontrol: EBOB × EKOK = 4 × 24 = 96 = 12 × 8 ✓.

EBOB'u 1 olan sayılara birbirini asal (veya aralarında asal) denir. Örneğin 8 ve 9 birbirini asal sayılardır çünkü ortak çarpanları yoktur. Bu durumda EKOK(a,b) = a × b olur: EKOK(8,9) = 72. İki asal sayı da her zaman birbirini asaldır.

Üç sayı için EBOB: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a,b), c). Üç sayı için EKOK: lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a,b), c). Örneğin 12, 18, 24: EBOB(12,18)=6, EBOB(6,24)=6. EKOK(12,18)=36, EKOK(36,24)=72.

Bir kesri en sade hâle getirmek için pay ve paydayı EBOB'larına bölün. 36/48 kesirleri için EBOB(36,48)=12 → 36÷12=3, 48÷12=4 → 3/4. Ayrıca 1/3 + 1/4 toplamında EKOK(3,4)=12 ortak payda → 4/12 + 3/12 = 7/12.

EBOB 'ortak en büyük ölçü' verir — örneğin 60 cm ve 84 cm iki çubuğu artıksız bölecek en büyük parça: EBOB(60,84)=12 cm. EKOK 'en kısa ortak döngü' verir — örneğin 4 günde bir ve 6 günde bir çakışan toplantıların ilk ortak tarihi: EKOK(4,6)=12. gün sonra.