Faktöriyel Hesaplama

n! (n faktöriyel), 1'den n'e kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Tanım gereği 0! = 1'dir. Faktöriyel, kombinatorik ve olasılık hesaplamalarının temelidir. Örneğin 5! = 1×2×3×4×5 = 120.

Faktöriyel; permütasyon (P(n,r) = n!/(n-r)!), kombinasyon (C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)), binom açılımı ((a+b)^n), Taylor ve Maclaurin serileri (e^x = Σ x^n/n!), Poisson ve Normal dağılım formüllerinde temel rol oynar.

Faktöriyel çok hızlı büyür; 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,43 × 10^18, 52! ≈ 8,07 × 10^67 (standart bir kart destesinin olası sıra sayısı). Kriptografi, kombinatorik ve olasılık teorisinde büyük faktöriyel hesapları kritiktir. 170! ≈ 7,2 × 10^306 hesaplanabilir son değerdir.

Standart tanımda negatif tam sayıların faktöriyeli tanımsızdır. Ancak Gama fonksiyonu Γ(n) = (n-1)! ile faktöriyel, pozitif gerçek sayılara genişletilebilir. Γ(1/2) = √π gibi değerler hesaplanabilir. Negatif tam sayılarda Gama fonksiyonu da tanımsız kalır.

0! = 1 tanımı birkaç açıdan tutarlıdır: (1) Boş kümenin tek bir sıralanma biçimi vardır. (2) n! = n × (n-1)! ardışıklık bağıntısını n=1 için uygulamak: 1! = 1 × 0! → 0! = 1. (3) Kombinasyon formülü C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1 tutarlı sonuç verir.

IEEE 754 çift duyarlıklı ondalık sayı (double) standardı yaklaşık 1,8 × 10^308 maksimum değeri temsil edebilir. 171! ≈ 1,24 × 10^309 bu sınırı aşar ve 'Infinity' döner. Bu araç BigInt kullanarak 170!'in tam değerini hesaplar.

n! = n × (n−1)! ardışıklık bağıntısı, özyinelemeli hesaplamanın temelidir. Bu bağıntıyla faktöriyel tanımlanabilir: 0!=1, n! = n×(n−1)!. Örneğin 6! = 6×5! = 6×120 = 720. Bilgisayar programlarında özyinelemeli fonksiyonla veya döngüyle hesaplanır.

Büyük n değerleri için faktöriyelin yaklaşık hesabını sağlayan formüldür: ln(n!) ≈ n×ln(n) − n. Daha doğru form: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Bu yaklaşım istatistik, termodinamik ve bilgisayar biliminde büyük faktöriyelleri tahmin etmek için kullanılır.

n!! (çift faktöriyel), her adımda 2 azalarak çarpılır. Çift n için: n!! = n×(n−2)×…×4×2. Tek n için: n!! = n×(n−2)×…×3×1. Örneğin 8!! = 8×6×4×2 = 384, 7!! = 7×5×3×1 = 105. Kombinatorik ve istatistikte bazı formüllerde kullanılır.

Permütasyon P(n,r) = n!/(n−r)! — n elemandan r'yi sıralı seçme. Kombinasyon C(n,r) = n!/(r!×(n−r)!) — n elemandan r'yi sırasız seçme. Örneğin 5 kişiden 3 kişiyi komite seçmek: C(5,3) = 120/(6×2) = 10. Sıralı seçmek: P(5,3) = 120/2 = 60.