Karekök, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değerdir: √x = x^(1/2). Örneğin √25 = 5, çünkü 5² = 25. √144 = 12, √81 = 9. Mükemmel kare olmayan sayılar irrasyoneldir: √2 ≈ 1,41421, √50 = 5√2 ≈ 7,0711.
Karekök (2. kök) √x = x^(1/2) formülüyle hesaplanır ve her zaman pozitif sonuç verir. Küpkök (3. kök) ∛x = x^(1/3) formülüyle hesaplanır ve negatif sayılar için gerçek sonuç verir: ∛(-8) = -2, ∛27 = 3, ∛125 = 5.
Gerçek sayılar kümesinde negatif sayının karekökü tanımsızdır çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz (hem pozitif hem negatif sayının karesi pozitiftir). Karmaşık sayılar kümesinde √(-1) = i (sanal birim) tanımlanır; √(-9) = 3i.
N. dereceden kök: ⁿ√x = x^(1/n). Örnekler: 4. kök ⁴√81 = 81^(1/4) = 3 (3⁴=81). 5. kök ⁵√32 = 32^(1/5) = 2 (2⁵=32). Çift dereceli köklerde (n çift) x negatif olamaz. Tek dereceli köklerde (n tek) negatif sayılar için gerçek sonuç vardır.
Tam sayı olarak ifade edilemeyen kök değerlerine irrasyonel kök denir. √2 ≈ 1,41421356..., √3 ≈ 1,73205..., √5 ≈ 2,23607... Bu sayıların ondalık açılımı ne sonlanır ne de döngüye girer. Mükemmel kareler (1, 4, 9, 16, 25...) dışındaki tüm tam sayıların karekökleri irrasyoneldir.
Pisagor teoremi (dik üçgen hipotenüsü: c = √(a²+b²)), standart sapma hesabı (varyansın karekökü), enerji ve fizik formülleri (hız: v = √(2gh)), alan hesabından kenar bulma (a = √Alan), ses ve ışık hızı hesaplamalarında karekök yaygın kullanılır.
ⁿ√x = x^(1/n) ve ⁿ√(x^m) = x^(m/n) bağıntısı kökler ile üslü sayılar arasında köprü kurar. Örneğin ∛(x²) = x^(2/3), √(x³) = x^(3/2). Bu ilişki kök ifadelerini üs notasyonuna çevirmek için kullanılır ve türev/integral hesaplarında büyük kolaylık sağlar.
Standart hesap makinelerinde √ tuşuna basın (genellikle x tuşundan önce). Bilimsel hesap makinelerinde x^(1/2) veya x^(0.5) girin. Akıllı telefonda 'sqrt(' yazabilirsiniz. Excel'de =KAREKÖK(sayı) veya =sayı^(1/2) formülü kullanılır. Python'da math.sqrt(x) veya x**0.5.
Evet. Bu üç değer mühendislik ve fizikte sık karşılaşılır. √2 ≈ 1,414 (45° dik üçgen, A-serisi kağıt oranı), √3 ≈ 1,732 (60° üçgen, üç fazlı elektrik), √5 ≈ 2,236 (altın oranla ilgili: φ = (1+√5)/2). Bu değerleri ezberlemek hesapları hızlandırır.