Permütasyon Hesaplama

Permütasyon, n farklı elemandan r tanesini sıra gözetilerek seçmenin farklı yol sayısıdır: P(n,r) = n! / (n-r)!. Sıralama önemlidir; {A,B} ve {B,A} farklı permütasyonlardır. Örneğin P(5,2) = 5!/3! = 5×4 = 20.

P(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1). Kısa hesap: P(n,r)'yi hesaplamak için n'den başlayarak r tane sayıyı çarpın. Örneğin P(7,3) = 7 × 6 × 5 = 210. P(10,4) = 10×9×8×7 = 5.040.

P(n,n) = n! / 0! = n! olup n elemanın tamamının tüm sıralamalarının sayısıdır. Örneğin 3 elemanın (A,B,C) tüm dizilimleri: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA = 3! = 6 permütasyon. 4 kişi masada kaç farklı oturur: P(4,4) = 4! = 24.

Elemanların tekrar kullanılabildiği durumlarda tekrarlı permütasyon: n^r farklı düzenleme vardır. Örneğin 10 rakamla 4 basamaklı PIN: 10⁴ = 10.000. 26 harfle 3 harfli şifre: 26³ = 17.576. Tekrarlı permütasyon kombinasyondan bağımsız bir hesaptır.

4 haneli PIN kodu (sırası önemli, tekrar yok): P(10,4) = 5.040. Yarış ilk 3'ü sıralama (8 yarışmacı): P(8,3) = 336. Anagram sayısı (ELMA kelimesi): 4! = 24. Müzik çalma listesi sıralaması, barkod ve seri numarası üretiminde permütasyon kullanılır.

Permütasyonda sıra önemlidir (P(n,r) = n!/(n-r)!). Kombinasyonda sıra önemsizdir (C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)). 5 kişiden 3 kişilik komite: C(5,3)=10. 5 kişiden sıralı 3 kişilik liderlik (başkan, yardımcı, sekreter): P(5,3)=60. Her kombinasyona r!=6 permütasyon karşılık gelir.

n nesnenin dairesel dizilim sayısı (n-1)! formülüyle hesaplanır. Bir masada 6 kişinin dizilimi (yerlerin değil kişilerin sırası önemli): (6-1)! = 5! = 120. Boncuk dizme gibi önlü-arkalı ayrım yoksa (6-1)!/2 = 60. Normal permütasyondan (6! = 720) çok daha azdır.

n elemandan k₁ adet birinci tür, k₂ adet ikinci tür, ... tekrarlı varsa: n! / (k₁! × k₂! × ...). Örneğin MATEMATIK kelimesinde (10 harf, A×2, T×2, M×2): 10! / (2! × 2! × 2!) = 3.628.800 / 8 = 453.600 farklı dizilim.

P(100,2) = 100 × 99 = 9.900. Örneğin 100 kişilik kulüpten başkan ve yardımcısını seçmek. P(100,3) = 100 × 99 × 98 = 970.200. Büyük n değerlerinde permütasyon hızla artar — P(52,5) = 311.875.200 (kart ellerinde sıralı 5 kart).

Bir olayın olasılığı = İstenen permütasyon sayısı / Toplam permütasyon sayısı. Örneğin 6 yarışmacıdan belirli 3 kişinin ilk 3'te olma olasılığı: İstenen = 3! = 6, Toplam = P(6,3) = 120 → Olasılık = 6/120 = 1/20 = %5. Permütasyon olasılık hesaplarının temelini oluşturur.