Standart Sapma Hesaplama

Standart sapma (σ veya s), veri noktalarının ortalamadan ortalama uzaklığını ölçer. Küçük σ verilerin ortalama etrafında yoğunlaştığını, büyük σ ise verilerin geniş dağıldığını gösterir. Popülasyon için σ = √(Σ(xᵢ−μ)²/n), örneklem için s = √(Σ(xᵢ−x̄)²/(n-1)).

1) Ortalama μ = Σxᵢ/n hesaplayın. 2) Her değerin ortalamadan farkının karesini (xᵢ−μ)² bulun. 3) Bu karelerin ortalamasını (varyans) hesaplayın. 4) Varyansın karekökünü alın. Örnek: {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9} → Ortalama=5, Varyans=4, σ=2.

Popülasyon standart sapması (σ): n ile bölünür — tüm popülasyon bilindiğinde. Örneklem standart sapması (s): (n-1) ile bölünür — küçük örnekten popülasyonu tahmin etmek için (Bessel düzeltmesi). Excel'de STDSAPMA popülasyon, STDSAPMA.S örneklem sapmasını verir.

Varyans (σ²), standart sapmanın karesidir. İkisi de dağılımı ölçer. Ancak varyansın birimi orijinal verinin birimine karedir (örn. kg² — anlamsız). Standart sapma kökü alarak orijinal veriyle aynı birime (kg) döner — bu yüzden yorumlaması çok daha kolaydır.

Normal dağılımda 68-95-99,7 kuralı geçerlidir: μ±1σ aralığına verilerin %68'i, μ±2σ'ya %95,4'ü, μ±3σ'ya %99,7'si düşer. Kalite kontrolünde 6σ (Six Sigma) metodolojisi bir milyonda 3,4 hata hedefler. Bu kural risk analizi ve kontrol grafikleri için temeldir.

Değişim katsayısı CV = (Standart Sapma / Ortalama) × 100%, farklı ölçeklerdeki veri setlerini karşılaştırmak için kullanılır. Örneğin boy verisi (σ=10 cm, μ=170 cm → CV≈%5,9) ile kilo verisi (σ=15 kg, μ=70 kg → CV≈%21,4) karşılaştırılabilir. Küçük CV homojen dağılımı gösterir.

Finans ve yatırımda standart sapma risk ölçüsüdür. Bir hisse senedinin yıllık getirisinin σ'su yüksekse, getiri belirsizliği fazladır (yüksek risk). Sharpe oranı = (Getiri − Risksiz oran) / σ formülüyle risk başına getiri hesaplanır. Düşük σ, istikrarlı yatırımı gösterir.

z = (x − μ) / σ formülüyle bir veri noktasının ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğu bulunur. z=0 ortalamayı, z=+1 ortalamanın 1σ üstünü ifade eder. Örneğin sınav ortalaması 70, σ=10 ise 90 alan öğrencinin z-skoru = (90−70)/10 = 2; yani %97,7'lik dilimde.

MAD = median(|xᵢ − median(x)|) formülüyle hesaplanır. Aykırı değerlere karşı çok daha dayanıklıdır. Standart sapma aykırı değerleri karelerle büyütürken MAD bu etkiden bağımsızdır. Sağlam (robust) istatistiklerde ve veri temizlemede MAD tercih edilir.

Excel'de popülasyon standart sapması: =STDSAPMA(A1:A10) veya =STDSAPMA.P(A1:A10). Örneklem standart sapması: =STDSAPMA.S(A1:A10). Ortalama için =ORTALAMA(), varyans için =VAR() veya =VAR.P() kullanın. Python'da: numpy.std(data, ddof=0) popülasyon, ddof=1 örneklem için.